* গাণিতিক বাক্য কাকে বলে?
উত্তর : গণিতবিষয়ক এমন কোনো উক্তি যা সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায়, তাকে গাণিতিক বাক্য বলে।
* খোলা বাক্য কাকে বলে?
উত্তর : অক্ষর প্রতীক বা বিশেষ প্রতীক সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে খোলা বাক্য বলে।
* ‘অঙ্ক’ কাকে বলে?
উত্তর : সংখ্যা গঠনের জন্য যেসব প্রতীক ব্যবহৃত হয় তাকে অঙ্ক বলে।
* অজানা সংখ্যা নির্দেশ করতে কী ব্যবহার করা হয়?
উত্তর : অজানা সংখ্যা নির্দেশ করতে বিশেষ প্রতীক (š) বা অক্ষর প্রতীক (ক, খ, গ, ঘ) ইত্যাদি ব্যবহার করা হয়।
* সংখ্যা প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : সংখ্যা প্রতীক ১০টি।
যথা ঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০।
* প্রক্রিয়া প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : প্রক্রিয়া প্রতীক ৪টি,
যথা : + (যোগ), - (বিয়োগ), ´ (গুণ), গু (ভাগ)।
* সম্পর্ক প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : সম্পর্ক প্রতীক ৬টি,
যথা : = (সমান), > (বড়), < (ছোট), ¹ (সমান নয় > (বড় নয়), < (ছোট নয়)।
* > এর সমার্থক প্রতীক লিখ।
উত্তর : > সমার্থক প্রতীক হল £ (ছোট অথবা সমান)।
* বন্ধনী প্রতীকগুলো লিখ।
উত্তর : বন্ধনী প্রতীকগুলো হল- ( ) (প্রথম বন্ধনী), {} (দ্বিতীয় বন্ধনী), [ ] (তৃতীয় বন্ধনী)।
* কিছু সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন ও প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে কি ধরনের রাশি গঠিত হয়?
উত্তর : কিছু সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন ও প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে সংখ্যা রাশি গঠিত হয়।
* সংখ্যা রাশির একটি উদাহরণ লিখ।
উত্তর : সংখ্যা রাশির একটি উদাহরণ হলো ঃ
(৫ + ৬ - ২) গু ৩
* সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায় গণিতবিষয়ক এমন উক্তিকে কি বলে?
উত্তর : সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায় গণিতবিষয়ক এমন উক্তিকে গাণিতিক উক্তি বলে।
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ঃ তিন লক্ষ ত্রিশ।
উত্তর : প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হলো তিন লক্ষ ত্রিশকে ঃ ৩,০০,০৩০
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ঃ ‘চল্লিশের আটগুণকে একান্ন ও ছাব্বিশের বিয়োগফল দিয়ে ভাগ’।
উত্তর : ‘চল্লিশের আটগুণকে একান্ন ও ছাব্বিশের বিয়োগফল দিয়ে ভাগ। একে প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করলে হবে।
(৪০ ´ ৮) গু (৫১-২৬)
* (৭২ গু ৮) ´ ৩ = ৭২ গু (৮ ´ ৩) বাক্যটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : এখানে, (৭২ গু ৮) ´ ৩
= ৯ ´ ৩ = ২৭
এবং, ৭২ গু ২৪ = ৭২ গু ২৪ = ৩
॥ ২৭ > ৩
সুতরাং, (৭২ গু ৮) ´ ৩ = ৭২ গু (৮´৩) বাক্যটি মিথ্যা।
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ‘পাঁচ কোটি বায়ান্ন লক্ষ সত্তর হাজার সাত’।
উত্তর : প্রতীকের সাহায্যে ‘পাঁচ কোটি বায়ান্ন লক্ষ সত্তর হাজার সাত’কে প্রকাশ করা হলো ঃ
৫, ৫২, ৭০, ০০৭।
* ৮৭টি একটি মৌলিক সংখ্যা। উক্তিটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : ৮৭টি একটি মৌলিক সংখ্যা। উক্তটি মিথ্যা।
* ৮১টি একটি পূর্ণসংখ্যা। উক্তিটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : ৮১টি একটি পূর্ণসংখ্যা। উক্তিটি সত্য।
* অক্ষর প্রতীক কেন ব্যবহার করা হয়?
উত্তর : অজানা সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
* অক্ষর প্রতীক কোন মানের জন্য (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯; এটি সত্য গাণিতিক বাক্য হবে?
উত্তর : (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯
বা, (ক + ১৫) = ৬৯ গু ৩
বা, ক + ১৫ = ২৩
বা, ক = ২৩ Ñ ১৫
বা, ক = ৮
॥ অক্ষর প্রতীক ৮ এর জন্য (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯ সত্য গাণিতিক বাক্য হবে।
* ৫ > ৭/ ৭ = ৭ / ৬ ¹ ৮ / ৮১ একটি পূর্ণবর্গ, প্রদত্ত উক্তিগুলোর মধ্যে কোনটি মিথ্যা?
উত্তর : ৫ > ৭ / ৭ = ৭ / ৬ ¹ ৭ / ৮১ একটি পূর্ণবর্গ। প্রদত্ত উক্তিগুলোর মধ্যে ৫ > ৭ উক্তিটি মিথ্যা।
উত্তর : গণিতবিষয়ক এমন কোনো উক্তি যা সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায়, তাকে গাণিতিক বাক্য বলে।
* খোলা বাক্য কাকে বলে?
উত্তর : অক্ষর প্রতীক বা বিশেষ প্রতীক সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে খোলা বাক্য বলে।
* ‘অঙ্ক’ কাকে বলে?
উত্তর : সংখ্যা গঠনের জন্য যেসব প্রতীক ব্যবহৃত হয় তাকে অঙ্ক বলে।
* অজানা সংখ্যা নির্দেশ করতে কী ব্যবহার করা হয়?
উত্তর : অজানা সংখ্যা নির্দেশ করতে বিশেষ প্রতীক (š) বা অক্ষর প্রতীক (ক, খ, গ, ঘ) ইত্যাদি ব্যবহার করা হয়।
* সংখ্যা প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : সংখ্যা প্রতীক ১০টি।
যথা ঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০।
* প্রক্রিয়া প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : প্রক্রিয়া প্রতীক ৪টি,
যথা : + (যোগ), - (বিয়োগ), ´ (গুণ), গু (ভাগ)।
* সম্পর্ক প্রতীক কয়টি ও কী কী?
উত্তর : সম্পর্ক প্রতীক ৬টি,
যথা : = (সমান), > (বড়), < (ছোট), ¹ (সমান নয় > (বড় নয়), < (ছোট নয়)।
* > এর সমার্থক প্রতীক লিখ।
উত্তর : > সমার্থক প্রতীক হল £ (ছোট অথবা সমান)।
* বন্ধনী প্রতীকগুলো লিখ।
উত্তর : বন্ধনী প্রতীকগুলো হল- ( ) (প্রথম বন্ধনী), {} (দ্বিতীয় বন্ধনী), [ ] (তৃতীয় বন্ধনী)।
* কিছু সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন ও প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে কি ধরনের রাশি গঠিত হয়?
উত্তর : কিছু সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন ও প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে সংখ্যা রাশি গঠিত হয়।
* সংখ্যা রাশির একটি উদাহরণ লিখ।
উত্তর : সংখ্যা রাশির একটি উদাহরণ হলো ঃ
(৫ + ৬ - ২) গু ৩
* সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায় গণিতবিষয়ক এমন উক্তিকে কি বলে?
উত্তর : সুনির্দিষ্ট করে সত্য না মিথ্যা বলা যায় গণিতবিষয়ক এমন উক্তিকে গাণিতিক উক্তি বলে।
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ঃ তিন লক্ষ ত্রিশ।
উত্তর : প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হলো তিন লক্ষ ত্রিশকে ঃ ৩,০০,০৩০
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ঃ ‘চল্লিশের আটগুণকে একান্ন ও ছাব্বিশের বিয়োগফল দিয়ে ভাগ’।
উত্তর : ‘চল্লিশের আটগুণকে একান্ন ও ছাব্বিশের বিয়োগফল দিয়ে ভাগ। একে প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করলে হবে।
(৪০ ´ ৮) গু (৫১-২৬)
* (৭২ গু ৮) ´ ৩ = ৭২ গু (৮ ´ ৩) বাক্যটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : এখানে, (৭২ গু ৮) ´ ৩
= ৯ ´ ৩ = ২৭
এবং, ৭২ গু ২৪ = ৭২ গু ২৪ = ৩
॥ ২৭ > ৩
সুতরাং, (৭২ গু ৮) ´ ৩ = ৭২ গু (৮´৩) বাক্যটি মিথ্যা।
* প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ কর ‘পাঁচ কোটি বায়ান্ন লক্ষ সত্তর হাজার সাত’।
উত্তর : প্রতীকের সাহায্যে ‘পাঁচ কোটি বায়ান্ন লক্ষ সত্তর হাজার সাত’কে প্রকাশ করা হলো ঃ
৫, ৫২, ৭০, ০০৭।
* ৮৭টি একটি মৌলিক সংখ্যা। উক্তিটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : ৮৭টি একটি মৌলিক সংখ্যা। উক্তটি মিথ্যা।
* ৮১টি একটি পূর্ণসংখ্যা। উক্তিটি সত্য না মিথ্যা?
উত্তর : ৮১টি একটি পূর্ণসংখ্যা। উক্তিটি সত্য।
* অক্ষর প্রতীক কেন ব্যবহার করা হয়?
উত্তর : অজানা সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
* অক্ষর প্রতীক কোন মানের জন্য (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯; এটি সত্য গাণিতিক বাক্য হবে?
উত্তর : (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯
বা, (ক + ১৫) = ৬৯ গু ৩
বা, ক + ১৫ = ২৩
বা, ক = ২৩ Ñ ১৫
বা, ক = ৮
॥ অক্ষর প্রতীক ৮ এর জন্য (ক + ১৫) ´ ৩ = ৬৯ সত্য গাণিতিক বাক্য হবে।
* ৫ > ৭/ ৭ = ৭ / ৬ ¹ ৮ / ৮১ একটি পূর্ণবর্গ, প্রদত্ত উক্তিগুলোর মধ্যে কোনটি মিথ্যা?
উত্তর : ৫ > ৭ / ৭ = ৭ / ৬ ¹ ৭ / ৮১ একটি পূর্ণবর্গ। প্রদত্ত উক্তিগুলোর মধ্যে ৫ > ৭ উক্তিটি মিথ্যা।
প্রশ্ন: ৮১২ o ৭৪ --এখানেo চিহ্নিত স্থানে কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৮ + ১ + ২ + ৭ + ৪) = ২২, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২২-এর কাছাকাছি সংখ্যা ২৭, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
২৭ - ২২ = ৫
o স্থানে ৫ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
প্রশ্ন: সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করো, যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান:
সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৯।
প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ = ৬৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু প্রদত্ত সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ৯, যা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা জোড় সংখ্যা হলে এবং অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। সুতরাং, প্রাপ্ত সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯০ ও ৯৯৯৯৯৯৬ এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৬।
নির্ণেয় সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৬।
উত্তর: ৯৯৯৯৯৯৬।
# সাদিয়াকে তার গৃহশিক্ষক দুটি সংখ্যা লিখতে বলায় সে ৭৮১৬৭৬০ ও ৮৫৩৫০ লিখল।
প্রশ্ন:
ক. প্রথম সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য কি না, যাচাই করো। ২
খ. ৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য কি না যাচাই করো। ৪
গ. সাদিয়ার লেখা দুটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা আলোচনা করো। ৪
সমাধান:
ক. প্রথম সংখ্যাটি ৭৮১৬৭৬০
প্রদত্ত সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক ৬০; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং, ৭৮১৬৭৬০ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
খ. ৮৫৩৫০
প্রদত্ত সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০। যদি কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ অথবা ৫ থাকে, তবে সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং, ৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
গ. ৭৮১৬৭৬০
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৭ + ৮ + ১ + ৬ + ৭ + ৬ + ০) = ৩৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
সুতরাং, ৭৮১৬৭৬০ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
আবার, ৮৫৩৫০
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৮ + ৫ + ৩ + ৫ + ০) = ২১ যা, ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
# ষষ্ঠ শ্রেণীর অঙ্ক শিক্ষিকা ১০ থেকে বড় কিন্তু ৫০ থেকে ছোট সংখ্যা লিখে ছাত্রছাত্রীদের বললেন, সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিছু মৌলিক ও কৃত্রিম সংখ্যা রয়েছে।
প্রশ্ন:
ক. মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?
খ. মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখো।
গ. কৃত্রিম সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো লেখো।
সমাধান:
ক. যেসব সংখ্যার ১ ও ওই সংখ্যা ছাড়া অপর কোনো গুণনীয়ক থাকে না, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে।
খ. ১০ থেকে বড় ৫০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো
১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ ও ৪৭।
গ. কৃত্রিম সংখ্যাগুলো হলো ১২, ১৪, ১৫, ১৬, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ৩০, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৮, ৩৯, ৪০, ৪২, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৮ ও ৪৯।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো
১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫ ও ৪৮।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৮ + ১ + ২ + ৭ + ৪) = ২২, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২২-এর কাছাকাছি সংখ্যা ২৭, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
২৭ - ২২ = ৫
o স্থানে ৫ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
প্রশ্ন: সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করো, যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান:
সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৯।
প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ = ৬৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু প্রদত্ত সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ৯, যা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা জোড় সংখ্যা হলে এবং অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। সুতরাং, প্রাপ্ত সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯০ ও ৯৯৯৯৯৯৬ এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৬।
নির্ণেয় সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৬।
উত্তর: ৯৯৯৯৯৯৬।
# সাদিয়াকে তার গৃহশিক্ষক দুটি সংখ্যা লিখতে বলায় সে ৭৮১৬৭৬০ ও ৮৫৩৫০ লিখল।
প্রশ্ন:
ক. প্রথম সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য কি না, যাচাই করো। ২
খ. ৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য কি না যাচাই করো। ৪
গ. সাদিয়ার লেখা দুটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা আলোচনা করো। ৪
সমাধান:
ক. প্রথম সংখ্যাটি ৭৮১৬৭৬০
প্রদত্ত সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক ৬০; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং, ৭৮১৬৭৬০ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
খ. ৮৫৩৫০
প্রদত্ত সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০। যদি কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ অথবা ৫ থাকে, তবে সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং, ৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
গ. ৭৮১৬৭৬০
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৭ + ৮ + ১ + ৬ + ৭ + ৬ + ০) = ৩৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
সুতরাং, ৭৮১৬৭৬০ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
আবার, ৮৫৩৫০
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (৮ + ৫ + ৩ + ৫ + ০) = ২১ যা, ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৮৫৩৫০ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
# ষষ্ঠ শ্রেণীর অঙ্ক শিক্ষিকা ১০ থেকে বড় কিন্তু ৫০ থেকে ছোট সংখ্যা লিখে ছাত্রছাত্রীদের বললেন, সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিছু মৌলিক ও কৃত্রিম সংখ্যা রয়েছে।
প্রশ্ন:
ক. মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?
খ. মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখো।
গ. কৃত্রিম সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো লেখো।
সমাধান:
ক. যেসব সংখ্যার ১ ও ওই সংখ্যা ছাড়া অপর কোনো গুণনীয়ক থাকে না, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে।
খ. ১০ থেকে বড় ৫০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো
১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ ও ৪৭।
গ. কৃত্রিম সংখ্যাগুলো হলো ১২, ১৪, ১৫, ১৬, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ৩০, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৮, ৩৯, ৪০, ৪২, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৮ ও ৪৯।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো
১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫ ও ৪৮।